Подготовка к экзамену по аналитической геометрии.

Геометрические векторы. Линейные операции над векторами.

1. Геометрический вектор как направленный отрезок. Понятие свободного вектора. Линейные операции над векторами. Свойства сложения векторов и умножения их на числа. Понятие линейного пространства геометрических векторов.
2. Геометрические векторы. Проекции векторов.
   Проекция вектора на ось. Свойства проекций, их связь со сложением векторов и умножением их на числа.
3. Декартовы координаты векторов. Линейные операции над векторами в координатах.
   Декартовы координаты вектора на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами в координатах. Координаты вектора как коэффициенты его разложения по каноническому базису.

1. Декартовы координаты векторов. Вычисление длин и углов в координатах.
   Критерий коллинеарности векторов в координатах. Вычисление длины вектора в координатах. Единичный вектор. Направляющие косинусы единичного вектора.
2. Декартовы координаты точек.
   Радиус-вектор точки. Связь координат вектора с координатами его начала и конца. Деление отрезка в заданном отношении, координаты точки деления.
3. Скалярное произведение векторов. Общие свойства скалярного произведения.
   Определение скалярного произведения и его связь с проекциями векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Вычисления проекций, длин и углов между векторами через их скалярные произведения.

1. Скалярное произведение векторов в декартовых координатах.
   Выражение скалярного произведения в координатах. Вычисления проекций, длин и углов между векторами через их координаты.
2. Векторное произведение векторов. Общие свойства векторного произведения.
   Понятия правой и левой тройки векторов. Определение векторного произведения. Алгебраические и геометрические свойства векторного произведения.
3. Векторное произведение векторов в декартовых координатах.
   Определители второго и третьего порядка, их определения и формулы вычисления разложением по строке или столбцу. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Вычисление площади треугольника и параллелограмма.

1. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.
   Понятия линейной зависимости и независимости системы геометрических векторов. Свойства линейной зависимости и независимости. Критерий линейной зависимости. Геометрический смысл линейной зависимости системы из двух и из трех векторов.
2. Базисы и координаты векторов. Линейные операции над векторами в координатах.
   Понятие полной системы векторов. Полнота системы из 3-х некомпланарных векторов. Базис как линейно независимая полная система. Существование и единственность разложения любого геометрического вектора по базису. Координаты векторов в данном базисе. Линейные операции над векторами в координатах.
3. Матрица перехода от базиса к новой системе векторов. Критерий базисности новой системы.
   Понятие базиса в пространстве геометрических векторов. Матрица перехода от базиса к новой системе векторов. Критерий базисности новой системы: невырожденность матрицы перехода.

1. Преобразование координат векторов при изменении базиса.
   Понятие базиса в пространстве геометрических векторов. Координаты векторов в данном базисе как коэффициенты их разложения по базису. Вывод формул, связывающих координаты векторов в старом и новом базисе.
2. Линейные операторы в пространстве геометрических векторов.
   Общие свойства и примеры линейных операторов в пространстве геометрических векторов. Образ и ядро линейного оператора как подпространства.
3. Матрица линейного оператора в данном базисе. Векторно- матричная запись действия линейного оператора.
   Понятие линейного оператора. Определение матрицы линейного оператора в данном базисе. Две теоремы о матрично-векторной записи действия линейного оператора в данном базисе.

1. Описание образа и ядра линейного оператора с помощью его матрицы в данном базисе.
   Определение матрицы линейного оператора в данном базисе. Описания образа и ядра линейного оператора с помощью его матрицы в данном базисе.
2. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.
   Замена базиса и формулы преобразования координат геометрических векторов и матрицы линейного оператора при замене базиса. Понятие подобия матриц. Инвариантность определителя матрицы линейного оператора при замене базиса.
3. Действия с линейными операторами и действия с их матрицами. Обратный оператор и обратная матрица.
   Сложение и умножение линейных операторов, умножение их на числа. Соответствующие действия с матрицами этих операторов. Обратный оператор и обратная матрица. Критерий обратимости линейного оператора.

1. Смешанное произведение. Общие свойства смешанного произведения.
   Определение смешанного произведения. Алгебраические и геометрические свойства смешанного произведения. Критерий компланарности тройки векторов.
2. Смешанное произведение векторов в декартовых координатах.
   Определители второго и третьего порядка, их определения и формулы вычисления разложением по строке или столбцу. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Вычисление объема параллелепипеда и тетраэдра. Критерий компланарности тройки векторов в координатах.
3. Линейная оболочка системы геометрических векторов.
   Понятие подпространства в пространстве геометрических векторов. Понятие линейной оболочки системы векторов. Линейная оболочка системы векторов как подпространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Единственность разложения вектора из линейной оболочки по линейно независимой системе.