Сдать летнюю сессию (semestr 2)

Алгебра и теория чисел, экзамен

1. Линейное пространство. Определение, примеры и простейшие ствойства

2. Базис линейного пространства. Изменение координат при замене Базиса

3. Система образующих линейного пространства. Свойства. Линейные подпространства

4. Линейно зависимые семейства. Свойства

5. Лемма о добавлении вектора к линейно независимому набору векторов

6. Равносильные определения базиса

7. Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций

8. Размерность линейного пространства

9. Сумма и пересечение подпространств. Связь их размерностей

10. Элементарные преобразования и элементарные матрицы

11. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк

12. Ранг набора векторов. Столбцовый и строчный ранги матрицы

13. Равенство столбцового и строчного рангов

14. Окаймлённая единичная матрица. PDQ - разложение

15. Невырожденные матрицы

16. СЛУ. Линейные системы

17. Линейное многообразие

18. Теория Кронекера-Капелли

19. Метод Гаусса

20. Линейные отображения

21. Читать Фадеева и Кострикина по темам матриц и определителей (да и по другим темам желательно)

22. Темы коллоквиума (Источник для подготовки - "Пространства с формами" Е.В.Дыбковой): Определение билинейной и полуторалинейной форм

23. Матрица Грама полуторалинейной формы. Изменение матрицы при замене базиса. Ранг формы

24. Билинейная симметричная и эрмитова форма. Ортогональное дополнение относительно такой формы, свойства ортогонального дполнения

25. Теорема Лагранжа об эрмитовых формах

26. Скалярное произведение и его свойства. Длина вектора, угол между векторами

27. Определения евклидова и унитарного пространств. Примеры. Матрица Грама для скалярного произведения

28. Ортонормированные базисы пространства. Унитарная и ортогональная группы

29. Процесс ортогонализации

30. Свойства ортогонального дополнения относительно скалярного произведения. Разложение пространства в ортогональную прямую сумму подпространств

31. Квадратичная форма как многочлен. Матрица квадратичной формы, её изменение при линейном преобразовании переменных. Квадратичные формы и симм

32. Определение квадратичной формы на линейном пространстве. Примеры. Связь с квадратичной формой как многочленом

33. Теорема Лагранжа о квадратичных формах. Приведение квадратичной формы как многочлена к диагональному виду с помощью специальных неособенных

34. Матрица квадратичной формы как отображения, её изменение при замене базиса. Ранг квадратичной формы. Каноническая матрица квадратичной формы

35. Каноническая матрица квадратичной формы на вещественном пространстве. Индексы инерции

36. Теорема Якоби

37. Положительно определённые квадратичные формы. Критерии. Конец тем коллоквиума.

38. Многочлены: Многочлены и формальные степенные ряды

39. Свойства степени многочлена

40. Деление с остатком

41. Гомоморфизм подстановки

42. Евклидовы области

43. Факториальность Евклидова кольца

44. Кратные корни и производная

45. Формула Тейлора

46. Алгебраически замкнутые поля. Каноническое разложение над C и R

47. Рациональные дроби. Конец темы многочленов

48. Теория групп: Вводная лекция

49. Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп;

50. Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы;

51. Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа.

52. Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса;

53. Нормальные подгруппы и фактор-группы;

54. Классы сопряженности.

55. Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме;

56. Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов.

57. Симметрическая группа, циклы, транспозиции;

58. Знак перестановки и знакопеременная группа.

59. Определение и примеры действий групп;

60. Орбита, стабилизатор, неподвижные точки;

61. Классификация действий групп;

62. Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения.

63. Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами;

64. Коммутант симметрической и полной линейной групп.

65. Лекции ещё будут, поэтому это ещё не все темы

Топология, экзамен

1. Метрические пространства. Примеры

2. Открытые и замкнутые множества. Свойства.

3. Внутренность и внешность множества.

4. Замыкание множества.

5. Топологические пространства. Примеры.

6. База топологии. Критерий базы.

7. Топология произведения пространств.

8. Равносильные определения непрерывности.

9. Прообраз топологии. Индуцированная топология

10. Инициальная топология. Топология произведения как инициальная.

11. Финальная топология. Фактортопология. Приклеивание.

12. Гомеоморфизм.

13. Связность топологического пространства и множества.

14. Связность отрезка

15. Связность замыкания. Связность объединения.

16. Связность и непрерывные отображения.

17. Связность произведения пространств.

18. Компоненты связности.

19. Линейная связность.

20. Компактность. Примеры.

21. Простейшие свойства компактности.

22. Компактность произведения пространств.

23. Компактность и хаусдорфовость.

24. Лемма Лебега. Компактность отрезка.

25. Критерий компактности подмножеств евклидова пространства.

26. Теорема Вейерштрасса. Примеры.

27. Аксиомы отделимости.

28. Нормальность метрического пространства.

Дискретная Математика, экзамен

1. Некоторые определения из теории множеств. Прямое произведение, разбиение множеств. Мощность объединения.

2. Вектора из нулей и едениц

3. Алгоритм перебора 0-1 векторов. Коды Грея

4. Перебор элементов прямого произведения множеств

5. Размещения, сочетания, перестановки без повторений

6. Размещения, сочетания, перестановки с повторениями

7. Два алгоритма перебора перестановок. Нумерация перестановок

8. Задача о минимуме скалярного произведения

9. Числа фиббоначи. Теорема о представлении

10. Перебор сочетаний. Нумерация сочетаний

11. Бином Ньютона и его комбинаторное использование

12. Свойства биномиальных коэффициентов

13. Основные определения теории вероятностей

14. Условные вероятности и формула Байеса

15. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

16. Схема Бернулли

17. Случайные числа. Схема Уолкера

18. Двоичный поиск и неравенство Крафта

19. Энтропия. 2 леммы

20. Теорема об энтропии

21. Операции над строками переменной длины

22. Поиск образца в строке (Карпа-Рабина, Бойера-Мура)

23. Суффиксное дерево

24. Задача о максимальном совпадении двух строк

25. Код Шеннона-Фано. Алгоритм Хаффмена. 3 леммы

26. Сжатие информации по методу Зива-Лемпеля

27. Метод Барроуза-Уиллера

28. Избыточное кодирование. Коды Хемминга

29. Шифрование с открытым ключом

30. Сортировки (5 методов)

31. Информационный поиск и организация информации

32. Хеширование

33. АВЛ деревья

34. B-деревья

35. Биномиальные кучи

36. Основные определения теории графов

37. Построение транзитивного замыкания

38. Обходы графа в глубину и ширину. Топологическая сортировка

39. Связность. Компоненты связности и сильной связности

40. Алгоритм поиска контура и построение диаграммы порядка

41. Теорема о связном подграфе

42. Деревья. Теорема о шести эквивалентных определениях дерева

43. Задача о кратчайшем остовном дереве. Алгоритм Прима

44. Алгоритм Краскала

45. Задача о кратчайшем пути. Алгоритм Дейкстры

46. Алгоритм Левита

47. Задача о кратчайшем дереве путей

48. Сетевой график и критические пути. Нахождение резервов работ

49. Задача о максимальном паросочетании в графе. Алгоритм построения

50. Теорема Кенига

51. Алгоритм построения контролирующего множества

52. Задача о назначениях. Венгерский метод

53. Задача коммивояжера. Метод ветвей и границ

54. Метод динамического программирования. Задача линейного раскроя

55. Приближённые методы решения задачи коммивояжера

56. Алгоритмы с гарантированной оценкой точности

57. Жадные алгоритмы. Задача о системе различных представителей

58. Приближённые методы решения дискретных задач

59. Конечные автоматы

60. Числа Фиббоначи. Производящие функции

61. Числа Каталана

Программирование, зачёт

1. Прочитать Троелсена по C# до интерфейсов и делегатов включительно

2. Написать двусвязный список с 4 интерфейсами

3. Gridmer: ООП Монополия

4. Декораторы - предприятия и филиалы

5. Форма файлового менеджера

6. Настройки и сериализация

7. Amazon Crawler

8. Реализовать в файловом менеджере новую форму поиска в содержимом файлов или директории по заданному регулярному выражению.

9. Реализовать этот поиск с помощью Parrallel.ForEach по каждому файлу.

10. Добавить в файловый менеджер функцию асинхронного скачивания файлов через HttpWebRequest с возможностью отмены через CancellationTokenSource

Математический анализ, зачёт