Курс по Теории вероятностей

Неделя 4. Дискретные случайные величины

Понятие дискретного распределения

Случайная величина (СВ) – это некоторое отображение выборочного пространства во множество действительных чисел.

Итак, для того чтобы задать дискретную СВ или дискретное распределение, что одно и то же, нам необходимо перечислить все возможные значения, которые принимает СВ, и соответствующие им вероятности. В дальнейшем термины СВ и распределение мы будем употреблять как синонимы, то есть «задано распределение», «задана СВ» – это одно и то же.

Некоторые классические определения:

• распределение Бернулли (или случайная величина) - самая простая СВ, которая принимает лишь два значения: 1 или 0, с вероятностями p и (1-p). Если p (вероятность 1) равна 0 или 1, случайная величина превращается в константу (всегда принимает одно и то же значение)
• дискретное равномерное распределение - СВ принимает конечное множество значений (N), каждое из которых равновероятно. Вероятность каждого значения Xk = 1/N, где k - принимает значения от 1 до N.
• геометрическое распределение
  • вероятность наступления события А в опыте = р
  • все опыты независимы
  • нас интересует номер опыта, когда событие А наступило впервые
  • пример: выпадение герба на монете
  • множество значений нашей СВ: 1, 2, 3, ..., n
  • с какой вероятностью СВ пример значение k (X = k)
  • Решение:
    • если X = k, значит в опыте k-1 событие не наступило, а в опыте k наступило
    • по теореме умножения независимых событий:
    • вероятность того, что X = k равна (1-p) ^ (k-1) * p
• гипергеометрическое распределение
  • есть урна
  • M - красных шаров, N - черных шаров
  • случайным образом вытаскиваются n шаров
  • наша СВ (R) - число вынутых красных шаров
  • вероятность того, что R = r равна
    • количество сочетаний из M по r
    • умножить на количество сочетаний из N по (n-r)
    • разделить все это на количество сочетаний из (M+N) по (n)

Неделя 4. Дискретные случайные величины

Схема испытаний Бернулли

Это случайный эксперимент, состоящий из n НЕЗАВИСИМЫХ опытов. Есть событие А (успех), которое наступает с вероятностью p (или не наступает с вероятностью q=1-p). Нас интересует количество успехов (число опытов, в которых А наступило).

Найти вероятность, что число успехов равняется k.

k принимает значения от 0 до n (А могло не наступить вообще или наступить в любом количестве опытов, и даже во всех).

Ai - событие, заключающееся в том, что в i-ом опыте событие А наступило.

• вероятность того, что событие не наступило ни в одном опыте:
  • q^n
• событие А наступило в одном опыте:
  • p * q^(n - 1)
• событие наступило в двух опытах
  • p^2 * q^(n-2)
• все опыты были успешными:
  • p^n

Выборочное пространство будет содержать 2^n элементарных событий:

• каждый исход это последовательность из n событий, каждый член либо Ai, либо не Ai.
• по правилам комбинаторики таких последовательностей 2^n.

Вероятность того, что произошло ровно k успехов:

• количество сочетаний из n по k, умножить на p^k и q^(n-k)
• количество сочетаний из n по k - количество способов из n объектов выбрать k.

Сумма вероятностей для всех возможных k = 1.

-----------------------------

10 раз подбрасываем правильную кость. Найдите вероятность того, что ровно два раза выпало число очков, большее или равное пяти.

• p - вероятность успеха = 2/6 = 1/3 (5 или 6 очков)
• q = 2/3
• n = 10
• k = 2
• Вероятность того, что произошло ровно 2 успеха из 10 попыток:
  • количество сочетаний из 10 по 2
    • 10! / ( 2! * 8! ) = 9 * 10 / 2 = 45
  • умножить на вероятность двух успехов
    • 45 * 1/3^2 * 2/3 ^ 8 = 45 * 1/9 * 2/3^8 = 5* 2/3^8 = 0.195

закончила третью лекцию, с задачами, конечно, большие проблемы)

Такси совершило ДТП в ночное время и скрылось. В городе есть только две компании такси: у компании Грин такси зеленого цвета, а у компании Блу − синего цвета, компании управляют 85% и 15% машин соответственно. Свидетель опознал такси как синее. Результаты теста показали, что в аналогичных условиях только 80% свидетелей правильно определяют цвет такси. Какова вероятность того, что такси, совершившее ДТП, принадлежит компании Блу?

• P(H1) - такси синее (0,15)
  • P(A|H1) = свидетель увидел синее (0,8)
    • 0,15 * 0,8 = 0,12
  • свидетель увидел зеленое (0,2)
    • 0,2 * 0,85
• P(H2) - такси зеленое (0,85)
  • свидетель увидел зеленое (0,8)
    • 0,8 * 0,15
• P(A|H2) = свидетель увидел синее (0,2)
  • 0,2 * 0,85 = 0,17

Найти вероятность гипотезы Н1 при условии события А:

по формуле Байеса: P( H1 | A ) = P( A | H1 ) * P(H1) / P(A) = 0,12/0,29

• P( A | H1 ) * P(H1)
  
  • 0,12
• P(A) - полная вероятность события А
  
  • 0,12 + 0,17 = 0,29

Независимость событий

Два события А и В можно назвать независимыми, если факт наступления одного события никак не влияет на вероятность другого, т. е. условная вероятность А при условии В такая же как и безусловная вероятность А.

Вероятность пересечения событий А и В - произведение вероятностей этих событий. Это и несть определение независимости событий.

Формула Байеса

На дереве вероятностей задаются условные вероятности последующих событий при условии, что предыдущие наступили. А формула Байеса позволяет нам посчитать условную вероятность предыдущих событий при условии, что мы наблюдаем последующие.

То есть можно найти условную вероятность события А, при условии, что В наступило, зная условную вероятность события В при условии А и отдельные вероятности событий А и В.

Формулу Байеса называют еще формулой обратных вероятностей.

Часто формула Байеса применяется в следующем виде. Пусть есть некоторое разбиение, состоящее из множеств Hi (H1, H2, H3). События Hi называют гипотезами.

Вероятности гипотез самих по себе называют априорными, вероятности гипотез при условии свершившегося события А - апостериорные (после опыта)

Итак, предварительно есть мнение о правдоподобности гипотез, оно заключено в их априорных вероятностях. Потом что-то происходит, и нам нужно обновить свое мнение с учетом поступившей информации. Формула Байеса позволяет это сделать.

Априорная вероятность умножается на:

( Вероятность события А при условии выполнения гипотезы ) / вероятность события А

Полная вероятность:

Пусть двум игрокам сдается по 5 карт из полной колоды карт. И нас интересует, какова вероятность того, что они будут иметь одинаковое количество тузов - событие В.

Если бы мы с вами знали, сколько тузов получил первый игрок, то мы бы легко нашли эту вероятность. Поэтому построим разбиение нашего выборочного пространства в соответствии с тем, сколько тузов получил 1-й игрок. В нашем разбиении будет, вообще говоря, 5 множеств, то есть 1-й игрок мог получить либо ноль тузов - событие Н0, либо один - Н1, либо 2 - Н2, либо 3 - Н3, либо 4 - Н4.

В формуле полной вероятности будет 5 слагаемых.

Получается, считаем, вероятность для второго игрока при условии, что первый получил определенное количество тузов, а потом их все складываем.

---------------------------------------------

еще заметка про количество способов сдать первому игроку 5 карт так, чтобы было определенное количество тузов:

например, 2 туза:

• делим множество из 52 карт на 2 части - 4 туза и 48 без тузов. И умножаем количество сочетаний из 4 тузов по 2 на количество сочетаний из 48 карт по 3 (5 минус 2 туза). В знаменателе - общее количество сочетаний из 52 по 5 карт.
• С (из 4 по 2) * С(из 48 по 3) / С(из 52 по 5)

Условная вероятность:

факт наступления одного из событий может менять вероятностинаступления других событий.

P(A|B) = P(объединения A и B) / P(B) - вероятность события А при наступлении события B

------------------------

Бросаем правильную кость два раза. Известно, что сумма выпавших очков не больше пяти. Найдите условную вероятность того, что выпало одинаковое количество очков.

• Редуцированное вероятностное пространство: [1,1], [1,2], [1,3], [1,4], [2,1],[2,2],[2,3], [3,1],[3,2],[4,1] - 10 вариантов
• Искомое событие: [1,1], [2,2],[3,3],[4,4],[5,5],[6,6]
• P(A|B) = P(объединение B и A) / P(B) = 2 / 10 = 20%

Бросаем правильную кость два раза. Известно, что выпало разное количество очков. Найдите условную вероятность того, что, по крайней мере, один раз выпала 1.

• Вероятностное пространство 6*6 = 36 вариантов
• Редуцированное вероятностное пространство: 36 - 6 = 30 вариантов
  • или 6*5 = 30
• Искомое событие - [1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6],[2,1],[3,1],[4,1],[5,1], [6,1]
• объединение - 10 вариантов (1,1 не удовлетворяет условию)

-----------------

Дерево вероятностей

Чтобы найти вероятность события, расположенного в листе дерева, нужно перемножить все вероятности на пути к нему. Это соответствует формуле условной вероятности: вероятность первого события * вероятность второго события при наступившем первом событии

----------------

Задача с самолетом и радаром:

На радиолокационной станции расположен радар. Если реально пролетает самолет, радар подает сигнал в 99% случаев. Ошибочный сигнал (если нет самолета) подается в 10% случаев.

Самолет пролетает с вероятностью 5 сотых.

А - над станцией пролетает самолет, В - на радаре есть сигнал.

Дерево вероятностей - на картинке внизу. Полученные 4 множества попарно не пересекаются и исчерпывают все возможности - говорят, что множества образуют разбиение выборочного пространиства.

Задача: какова вероятность того, что при появлении сигнала самолет действительно летит? - вероятность события А при условии события В.

P(A|B) = P(объединения А и В) / P(B)

Вероятность события B:

• если самолет летит 0.99*0.05
• если самолет не летит 0.1*0.95
• полная вероятность: сумма этих двух случаев = 0.1445

Вероятность объединения событий A и B (верхняя веточка дерева) - 0.99*0.05

Вероятность A при B = 0.34

Это кошмар как сложно)))

1. Пять бизнесменов пришли на встречу. Сколько будет сделано рукопожатий, если каждый бизнесмен пожимает руку всем остальным?
   - нужно посчитать, сколько может быть пар без учета порядка.
   - количество СОЧЕТАНИЙ от 5 по 2
   - число РАЗМЕЩЕНИЙ от 5 по 2 / число перестановок двух элементов
   - ( 5! / (5-2)! ) / 2! = 5! / ( 3! * 2! ) = 4 * 5 / 2 = 10
2. У Артема 12 друзей, 7 из них он приглашает на вечеринку.
   
   1. a) Сколько существует вариантов пригласить гостей, если Петя и Тимур не хотят быть на вечеринке вместе.
      - если Артем приглашает Петю, то ему остается выбрать 6 друзей из 10 (исключаем Петю и Тимура)
      - это можно сделать 10! / (4! * 6!) способами (210)
      - аналогично, если Артем приглашает Тимура, то есть еще 210 способов.
      - третий вариант - Артем не приглашает ни Петю, ни Тимура - сочетаний из 10 по 7 - 10! / (3! * 7!) = 120
      - всего 540 вариантов
   2. Сколько существует вариантов пригласить гостей, если Петя и Тимур настаивают на том, что либо они оба придут, либо не придет никто из них.
      - если пойдут оба, то остальных можно пригласить C(из 10 по 5) способами - 10! / (5! * 5!) = 252
      - если не пойдет никто, то С(из 10 по 7) = 120 способами
      - итого 372 варианта
3. Шесть студентов, три мальчика и три девочки, выстраиваются случайным образом в ряд для общей фотографии. Какова вероятность того, что мальчики будут чередоваться с девочками?
   - всего возможных перестановок - 6! = 720
   - благоприятные исходы: - девочки стоят на четных, мальчики на нечетных и наоборот
   - девочки могут разместиться на четных 3! способами, мальчики на нечетных также - 3! * 3! = 36
   - девочки на нечетных - 3!, мальчики на четных - 3! = 36 способов
   - всего благоприятных исходов - 36+36 = 72
   - вероятность - 72 / 720 = 10%
4. Сколькими способами можно поставить четыре различные ладьи на шахматной доске так, чтобы ни одна ладья не била другую?
   - ладья на любой клетке покрывает 15 клеток (на 1 стоит, 7 по вертикали, 7 по горизонтали)
   - первую ладью можно поставить 64 способами, вторую - (64-15 = 49) , вторая ладья будет покрывать уже 13 клеток (не считая уже покрытых), следовательно третью ладью можно поставить (49-13 = 36) способами, а четвертую (36 - 11 = 25) способами
   - итого 64 * 49 * 36 * 25
   - тут просто логика и вычисления, а я думала, будет какая-нибудь обобщающая формула ((
5. Абонент забыл последние две цифры пин-кода своей сим-карты, однако помнит, что они различны. Он вводит две цифры наудачу. Какова вероятность того, что введенный пин-код окажется правильным?
   - выборочное пространство - 10 разных цифр
   - количество размещений из 10 по 2 (с учетом порядка, без повторов) = 10! / 8! = 90
   - вероятность - 1/90
6. 50 деталей, среди которых 4 дефектных, отправляются к месту сборки. Отдел контроля качества выбирает 10 деталей наугад для проверки и бракует всю партию, если, по крайней мере, 1 деталь оказались дефектной. Какова вероятность того, что эта партия пройдет проверку?
   - найти вероятность того, что в выборке не оказалось ни одной дефектной детали - количество способов выбрать из 46 (50-4) по 10 без учета порядка (сочетания)
   - количество сочетаний из 46 по 10 = количество размещений разделить на количество перестановок 10 элементов
   - 46! / (36! * 10!)
   - всего возможных исходов - количество сочетаний без повторов из 50 по 10 = 50! / (40! * 10!)
   - вероятность = количество благоприятных на общее количество = ( 46! * 40! * 10! ) / ( 36! * 10! * 50! )
   - (46! * 40!) / (36! * 50!)
   - ( 37*38*39*40) / (47*48*49*50)
   - 0.397 (САМА РЕШИЛА))))
7. Если мы подбросим правильную монетку 5 раз, то какова вероятность того, что выпадет нечетное число орлов?
   
   1. Логическое рассуждение:
      Очевидно из соображений симметрии. Событие «выпало нечетное число орлов» есть то же самое, что событие «выпало четное число решек». Решки и орлы равноправны, значит, вероятность последнего события такая же, как и события «выпало четное число орлов». Таким образом, вероятность интересующего нас события и противоположного к нему одинаковы, следовательно, так как их сумма равна 1, получаем ответ.
   2. Рассчет:
      - всего 2^5 исходов = 32
      - благоприятные исходы: выпал 1 орел (сочетания из 5 по одному) - 5 способов, выпало 3 орла (сочетания из 5 по 3) = 10 способов, выпало 5 орлов (сочетаний из 5 по 5) - 1 способ = всего 16 благоприятных
      - итого: 16/32 = 50%