Пройти курс "Линейная алгебра" на Coursera.

Линейные функции в школе и в линейной алгебре, определение, примеры, свойства. Линейные отображения.

Базис линейного пространства. Теорема о количестве векторов в базисе линейного пространства. Размерность линейного пространства. Как представить себе пространство большой размерности: четырёхмерный куб. Линейная зависимость системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Теорема о продолжении базиса.

Решение систем линейных уравнений. Матрица системы уравнений, расширенная матрица системы уравнений, ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Ядро и образ линейного отображения. Выражение размерности пространства через размерности ядра и образа линейного отображения. Координаты вектора в базисе. Переход от одного базиса к другому, матрица перехода. Алгоритм перехода от старого базиса к новому. Правило умножения матриц.

Транспонирование и перемножение матриц. Единичная матрица, обратная матрица. Метод Гаусса на языке умножения матриц. Определитель матрицы и его свойства. Комплексные числа, комплексная плоскость,тригонометрическая форма комплексного числа.

Матрица линейного оператора, преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные векторы, собственные значения, собственный базис, собственное подпространство. Алгоритм поиска собственного базиса. Теорема о матрицах с попарно различными собственными значениями.

Жорданова клетка, жорданова матрица. Теорема о жордановой нормальной форме. Приведение матрицы к жорданову виду. Теорема Перрона-Фробениуса. Сжимающие отображения, теорема о неподвижной точке.

Билинейные формы, задание билинейных форм на парах базисных векторов. Матрица билинейной формы, преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Ортогональные матрицы и их свойства. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Квадратичные формы. Восстановление билинейной формы по квадратной.

Выделение полного квадрата. Сигнатура квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Процесс ортогонализации. Приведение формы к главным осям.

Поиск линейных, квадратичных, экспоненциальных зависимостей точек с наименьшей возможной ошибкой. Метод наименьших квадратов.