Начну с терминологии главы:

Математика - изучение абсолютно необходимых истин.

Доказательство - способ установления истинности математических высказываний.

(Лучшее определение) - вычисление, моделирующее свойство какой-то абстрактной категории, результат которой устанавливает, что абстрактная категория обладает данным свойством.

Математическая индукция - высший самоочевидный источник доказательства в математическом рассуждении.

(Действительное определение) - Множество теорий о поведении определенных физических объектов, поведение которых моделирует поведение интересных абстрактных категорий.

Интуиционизм - доктрина, связанная с тем, что все рассуждение об абстрактных категориях ненадежно, кроме того случая, когда оно основано на прямой самоочевидной интуиции.(Математическая версия солипсизма)

Десятая задача Гильберта - "раз и навсегда установить определенность математически методов", найдя набор правил вывода, достаточный для всех обоснованных доказательств, и затем доказать состоятельность этих правил в соответствии с их собственными нормами.

Теорема Геделя о неполноте - доказательство того, что десятая задача Гильберта не имеет решения. Для любого набора правил вывода существуют обоснованные доказательства, которые эти правила не определяют как таковые.

Переходим к обзору главы:

В этой главе были задеты критерия существования с математической стороны, то есть сложность и самостоятельность(или как там) тут заменяются доказательством, как критерий существования.

Было очень много разговоров про математическую интуицию и доказательство с помощью нее, что самоочевидность путем истинности показывает существование, как-то так.

Также было про абстрактное и доказательство этого абстрактного как реального, если оно также оказывает сопротивление и также сложно.

Был задет вопрос "исключения третьего" в случае интуиционизма и что это опять происходит усложнение более простых объяснений, но тут ставится вопрос реальной пользы этого и пока недостаточности человеческого сознания для понимания этого.

Интуиционисты верят в конечность натуральных чисел.

Из этого тоже была куча рассуждений.

Были использованы много известных личностей. В том числе Гедель.

Благодаря ему известно, что никогда не будет непреложного метода определения истинности математического высказывания, как не существует и непреложного метода определения истинности научной теории.

И математический процесс всегда будет зависеть от использования творчества.

...

В общем дальше было как-то сложно, даже не смогу написать всего.

Перейду к выводам.

Сложные и автономные абстрактные категории объективно существуют и являются частью структуры реальности. Существуют логически необходимые истины об этих категориях, которые и составляют предмет математики. Однако, эти истины невозможно знать определенно. Доказательства не дают их выводам определенность. Обоснованность конкретной формы доказательства зависит от истинности наших теорий о поведении объектов, с помощью которых мы осуществляем доказательство. Следовательно, математическое знание наследственно производно и полностью зависит от нашего знания физики. Постижимые математические истины - это в точности то бесконечно малое меньшинство, которое можно передать в виртуальной реальности. Однако непостижимые математические категории тоже существуют, т.к. они сложным образом появляются в объяснениях постижимых категорий.